Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:


в котором коэффициенты an берутся из некоторого кольца R.Содержание [убрать]
1 Пространство степенных рядов
2 Сходимость степенных рядов 
2.1 Признаки сходимости
2.2 См.также
3 Вариации и обобщения


[править]
Пространство степенных рядов
Сюда перенаправляется запрос Формальный степенной ряд. На тему «Формальный степенной ряд» нужна отдельная статья.

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из R обозначается R[[X]]. Пространство R[[X]] имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом R (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо R). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраич>еские и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В R[[X]] определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть


Тогда:


 (при этом необходимо, чтобы соблюдалось b0 = 0)


[править]
Сходимость степенных рядов

Из формального степенного ряда с вещественными или комплексными коэффициентами путем приписывания формальной переменной X какого-нибудь значения в поле вещественных или комплексных чисел можно получить числовой ряд. Числовой ряд считается сходящимся (суммируемым), если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, и называется абсолютно сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов, взятых по модулю (по норме).

[править]
Признаки сходимости

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
Первая теорема Абеля: Пусть ряд  сходится в точке x0. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x0 | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x0, он расходится при всех x, таких что | x | > | x0 | . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.
Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:


(По поводу определения верхнего предела  см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть F(x) и G(x) — два степенных ряда с радиусами сходимости RF и RG. Тогда




Если у ряда G(x) свободный член нулевой, тогда


Вопрос о сходимости ряда в точках границы | x | = R круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
Признак Д’Аламбера: Если при n > N и > 1 выполнено неравенство

тогда степенной ряд  сходится во всех точках окружности | x | = R абсолютно и равномерно по x.
Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда  положительны и последовательность an монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности | x | = 1, кроме, быть может, точки x = 1.
Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке x = x0. Тогда он сходится равномерно по x на отрезке, соединяющем точки 0 и x0.

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра x является предметом изучения теории аналитических функций.

[править]
См.также
Круг сходимости

[править]
Вариации и обобщения

Степенной ряд от n переменных — это формальное алгебраическое выражение вида:


или, в мультииндексных обозначениях,


где X — это вектор , — мультииндекс , X — одночлен . Пространство степенных рядов от n переменных и коэффициентами из R обозначается . В нём определены операции сложения, умножения, дифференцирования по каждой переменной и n-местной суперпозиции. Пусть


Тогда:




Про пространство  можно сказать практически то же самое, что и про R[[X]].